4. Интегральная формула Коши

Теорема 1. Пустъ G - ограниченная область в  с кусочно-гладкой положительно ориентированной границей Г. Пустъ функция f: регулярна на G и непрерывна на . Тогда для любой точки  справедлива интегральная формула Коши вида 

Доказательство. Фиксируем произвольную точку . Функция  регулярна по перeменному в области G\{z}. Выберем число >0 такое, что выполнено включение .

Обозначим через  окружность радиуса , ориентированную против хода часовой стрелки. Обозначим множества  и . Очевидно, что множество  есть область с кусочно-гладкой положительно ориентированной границей  (см. рис.).

По обобщенной теореме Коши получаем

Итак,

Справедливо равенство 1=, откуда

Т.к. f() непрерывна в точке , то для каждого >0 существует  такое, что  следует . Поэтому, выбирая , получаем

Т.к. >0 произвольное число, то из всего этого следует J=f(z), т.е. доказываемая формула.