Сказать "Спасибо"

Отыскание решений линейной неоднородной системы уравнений с постоянными коэффициентами в случае, когда свободные члены уравнений являются квазимногочленами.

Рассмотрим нормальную линейную неоднородную систему

$\dot {x}(t)=Ax(t)+f(t)~~~~~~(1)$

Определение.

Вектор - квазимногочлен называется вектор-функция $f (t) = e μ t P m (t)$ , где $μ$ - заданное комплексное число, $P m (t)$ - вектор- многочлен степени $m$ , коэффициентами котрого служат $n$ - мерные векторы.

Теорема.

Если в системе (1)

$f(t)=e^{\mu t}\left[P_m^{(1)}(t)h_1+...+P_m^{(k)}(t)h_k\right]$ ,

где $P_m^{(1)}(t),...., P_m^{(k)}(t)$ - многочлены степени не выше $m$ , то для системы (1) существует и единственно решение вида

$x(t)=\left\{\begin{array}{lcl} e^{\mu t}\cdot Q_m(t),~~~~\mu\ne\lambda, \\ t\cdot e^{\mu t}\cdot Q_{m+k-1}(t),~~~~\mu = \lambda. \end{array} \right.$

Ищем решение (1) в виде

$x(t)=\sum_{j=1}^{k}\zeta_j(t)h_j$ .

Подставляя в систему (1) и используя определение жордановой цепочки, и в силу линейной независимости $h 1,..., h k$ следует, что

$\dot\zeta_1=\lambda\zeta_1+\zeta_2+e^{\mu t}P_{m}^{(1)}(t)$ ................. $\dot\zeta_{k-1}=\lambda\zeta_{k-1}+\zeta_{k}+e^{\mu t}P_{m}^{(k-1)}(t)$ $\dot\zeta_k=\lambda\zeta_k+e^{\mu t}P_{m}^{(k)}(t)$

1) при $\mu\ne \lambda$ решение этой системы

x (t) = e μ t Q m (t)

2) при $μ = λ$ решение этой системы

$x(t)=t\cdot e^{\mu t}Q_{m+k-1}(t)$

Сказать "Спасибо"

Отыскание решений линейной неоднородной системы уравнений с постоянными коэффициентами в случае, когда свободные члены уравнений являются квазимногочленами.

Комментарии