Сказать "Спасибо"

Общее решение линейной однородной системы уравнений с постоянными коэффициентами в случае, когда не существует базис из собственных векторов матрицы коэффициентов системы.

Рассмотрим нормальную линейную однородную систему

$\dot{x}(t)=Ax(t)~~~~(1)$

Лемма 3. Каждая из вектор-функций $x_r(t)=e^{\lambda t}\cdot P_r(t), r=1,..., k$ является решением системы (1). где $P_k(t)=(\frac{t^{k-1}}{(k-1)!}h_1+...+h_k)$ .

Теорема. Пусть жорданов базис в $\mathbb{C}^n$ состоит из $S$ жордановых цепочек $h_1^{(j)},..., h_{k_j}^{j}$ длин $k j (k 1 + ... + k S = n)$ для собственных значений $λ j$ преобразования $A$ , $j = 1,..., S$ .

Тогда:

а) вектор - функция вида

$x(t)=\sum_{j=1}^{S}e^{\lambda_j t}\left[C_1^{(j)}P_1^{(j)}(t),...,C_{k_j}^{(j)}P_{k_j}^{(j)}(t) \right]~~~~~(2)$

б) если $x (t)$ - какое-либо решение системы (1), то найдется такой набор $C_1^{(j)},...,C_{k_j}^{(j)}$ при котором $x (t)$ задается в форме (2).

Доказательство.

a) немедленно следует из принципа суперпозиции и Леммы 3.

б) Пусть $x (t)$ - какое-либо решение системы (1). Покажем, что оно имеет вид (2). При каждом $\forall t\in\mathbb{R}$ решение $x (t)$ можно разложить по жордановому базису $\mathbb{C}^n$ . Пусть

$x(t)=\sum_{j=1}^{S}\left[\zeta_1^{(j)}(t)h_1^{(j)}+\zeta_{k_j}^{(j)}(t)h_{k_j}^{(j)} \right]$

Подставим $x (t)$ в (1) и воспользуемся определением жордановой цепочки. Имеем из единственности разложения

находим $S$ систем вида:

$\left\{\begin{array}{lcl} \dot\zeta_1^{(j)}=\lambda_j\zeta_1^{(j)}+\zeta_2^{(j)} \\ ........................\\ \dot\zeta_{k_j-1}^{(j)}=\lambda_j\zeta_{k_j-1}^{(j)}+\zeta_{k_j}^{(j)}\\ \dot\zeta_{k_j}^{(j)}=\lambda_j\zeta_{k_j}^{(j)}\end{array} \right.$

решая эти системы приходи к утверждению теоремы.

Сказать "Спасибо"

Комментарии