Лемма. Если -корень кратности k характеристического уравнения =0, то каждая из функций ,,…, является решением уравнения L(D)y(x)=0.

○ а) . Тогда , где , следовательно . Очевидно, что  - решения

b) . Пусть . Тогда . Очевидно, что  - решения ●

Теорема. Пусть характеристическое уравнение =0 имеет корни () соответственно кратности ().

Тогда:

а) любая функция вида , где , является решением уравнения L(D)y(x)=0.

б) если y(x) – какое-либо решение уравнения L(D)y(x)=0, то единственный набор коэффициентов многочленов , при котором это решение y(x) задаётся формулой .

○ а) немедленно следует из леммы и принципа суперпозиции.

б) Докажем методом математической индукции по n. Пусть y(x) – какое-либо решение L(D)y(x)=0. При n=1 уравнение имеет вид  и по лемме все его решения имеют вид . Ясно, что при некотором единственном значении C эта формула содержит и наше решение. Пусть теперь n>1 и пусть всякое решение y(x) линейного однородного уравнения порядка (n-1) с постоянными коэффициентами единственным образом записывается в  форме  с заменой n на (n-1).

В силу условий теоремы .

Пусть , где при =1 первый сомножитель отсутсвует. Тогда . Положим .

Тогда  Каждое решение системы в силу предположения индукции имеет вид , ().

По лемме решение первого уравнения системы имеет вид , где C – комплексная постоянная.

Учитывая, что при целом  первообразная .

и что  из вида z(x) находим, что

Подставляем это выражение в , получаем, что рассматриваемое решение y(x) уравнения имеет вид .

Если существует решение уравнения, для которого , то отсюда .

Значит .