12. Постоянный ток. Сила и плотность тока. Сторонние силы. Закон сохранения заряда и уравнение непрерывности. Токи в неограниченных средах.
Электрический ток есть упорядоченное движение электрических зарядов.
Проведем бесконечно малую площадку dS, перпендикулярную к скорости u. Построим на ней бесконечно короткий прямой цилиндр с высотой и dt. Все частицы, заключенные внутри этого цилиндра, за время dt пройдут через площадку dS, перенеся через нее в направлении скорости u электрический заряд dq=neudSdt, где е — заряд отдельной частицы. Таким образом, через единицу площади за единицу времени переносится электрический заряд j=nеu. Вектор j=neu называется плотностью электрического тока.
При наличии регулярной
силы на беспорядочное движение электронов накладывается
систематическое — дрейфовое — движение. Если поле
регулярных сил однородно, то все свободные электроны движутся с одной
и той же дрейфовой скоростью, обозначаемой ниже u.
Полная скорость электрона v
складывается из беспорядочной
и дрейфовой u: v=+u.
Движение электрона в классической механике описывается уравнением
где
F — регулярная сила, действующая на электрон со стороны
внешнего силового поля, a
— сила, которую он испытывает при столкновениях с ионами или
другими электронами.
При малых дрейфовых
скоростях величину
можно разложить по степеням u и
ограничиться при этом линейным членом:
.
А значит F=
(1).
Сила
,
а с ней и время
обусловлены инерцией электронов. Поэтому
- инерционное время электрона в металле.
Воспользовавшись
соотношением j=neu
и введя обозначение
,
преобразуем ур-е (1) к виду
.
Если регулярная сила F и коэффициент
постоянны, то
Закон сохранения электрического заряда. Возьмем в среде произвольную замкнутую поверхность S, ограничивающую объем V (рис).
Количество электричества, ежесекундно вытекающее из объема V через поверхность S,
представляется
интегралом
.
Ту же величину можно представить в виде
,
где q — заряд, содержащийся в
объеме V. Приравнивая оба выражения,
получим
.
Представив q в виде
и преобразовав поверхностный интеграл в объемный
jdV,
придем к соотношению
jdV.(2)
Уравнение непрерывности (неразрывности)
Соотношение (2) должно
выполняться для произвольного объема V, а потому
+divj=0
(3).
Если токи стационарны,
т. е. не зависят от времени, то формулы (2) и (3) переходят в
=0,
divj=0.
