Ряд Тейлора.
Если функция определена
в некоторой окрестности точки
и
имеет в точке
производные
всех порядков, то степенной ряд
(1)
Называется рядом
Тейлора функции f в точке .
Пусть функция f регулярна в точке ,
т.е. представляется в некоторой окрестности точки
сходящимся
к этой функции степенным рядом
f(x)=>0.
(2)
Тогда по теореме
7 43
функция
бесконечно
дифференцируема в окрестности точки
,
причём коэффициенты ряда (2) выражаются формулами
,
. (3)
Таким образом,
степенной ряд для функции f(x),
регулярной в данной точке ,
совпадает с рядом Тейлора f в точке a.
Если известно,
что функция f(x)
бесконечно дифференцируема в точке a (и
даже в некоторой окрестности этой точки), то нельзя утверждать, что
составленный для этой функции ряд Тейлора (1) сходится при к
функции f(x).
Разложение в
степенной ряд .
Пусть .
Тогда для любого
,
где
,
выполняются неравенства
,
.
По теореме 2
ряд (15)
для функции
сходится
к этой функции на интервале
при
любом
,
т.е. радиус сходимости этого ряда
.
Так как для функции
выполняются
равенства
=1
для любого n, то по формуле (15) получаем разложение
в ряд Маклорена показательной функции
.
(16)