№ 18 .Существование первообразной для непрерывной функции. Формула Ньютона Лейбница.
Существование первообразной для непрерывной функции.
Теорема . : Если
функция f
непрерывна на отрезке
[a,b] , то
она имеет первообразную на этом отрезке, причем первообразной для
функции f является
интеграл с переменным верхним пределом : и
поэтому
f(t)dt+C(8),
где С — произвольная константа.
○Пусть x – произвольная точка отрезка [a,b]. По теореме о дифференцируемости интеграла функция F(x) определяемая формулой (1) ,имеет в точке x производную равную f(x) ,т.е.
F'(x)=f(t)dt)=f(x)
(9)
Согласно определению первообразной функция F(x) является первообразной для функции f(x) на отрезке [a,b] и поэтому справедливо равенство (8)●
Следствие : Из теоремы выше и теоремы из определения первообразной следует ,что всякая первообразная Ф(x) для функции f ,непрерывной на отрезке [a,b] , имеет вид
,
(10),где
С – постоянная.
Формула Ньютона Лейбница. (Основная формула интегрального исчисления)
Теорема: Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и если Ф(x) – какая-нибудь первообразная для f(x) на этом отрезке ,то справедлива формула Ньютона-Лейбница:
f(x)dx=Ф(b)–Ф(a)
(11).
○Согласно следствию из теоремы о существовании первообразной существует число С такое ,что справедливо равенство (10). Подставляя в формулу (10) x=a и учитывая,что
получаем
С=Ф(а)
.
Поэтому равенство (11) можно записать в виде
(12)
Равенство
(12) выполняется при любых значениях
,и
в частности при
x=b
, т.е.
откуда следует формула (11) ,так как величина определенного интеграла не зависит от того ,какой буквой обозначается независимое переменное в интеграле.●