Система Orphus

Матрицы линейного отображения и преобразования для конечномерных пространств. Операции над линейными преобразованиями в координатной форме. Изменение матрицы линейного отображения при замене базисов.

Координатная запись отображений. Рассмотрим линейные пространства Y и Yразмерностей n и m и линейное отображение A: Y->Y. Пусть е1 е2..еn базис в Y. тогда образ произвольного вектора x=e1+…+en раскладывается в линейную комбинацию

A(x)=A(e1)+…A(en) ) (3)

Значит А(х) может быть найден по координатам х, если известны образы базисных векторов А(е1)..А(еn).

Выберем также базис в пространстве Y’. Пусть это f1fm. Каждый из образов базисных векторов мы можем разложить по f.


Если компоненты вектора А(х) мы обозначим через
h1..hm то равенство (3) можно переписать так

Отсюда в силу единственности разложения по базису

(4)

Если мы составим матрицу А из чисел то равенства (4) могут быть записаны в матричной форме

h=A

Или подробнее

= (5)

Здесь координатный столбец образа вектора х (в базисе f) выражен как произведение матрицы А размеров m на n на координатный столбец вектора х в базиве е.

Матрицей линейного отображения А: Y->Y в паре базисов е и f называется матрица, столбцы которой (в их естественном порядке) – координатные столбцы векторов А(e1)..A(en) в базисе f.

При выбранных в пространствах Y Y’ базисах каждая матрица размеров m на n служит матрицей некоторого линейного отображения Y->Y’.

Предложение 4. Ранг матрицы линейного отображения равен рангу этого отображения.

Доказательство. Пусть j1..jr номера базисных столбцов матрицы А линейного отображения А. Тогда векторы А(е_j1)…A(e_jr) линейно независимы и каждый из векторов А(ei)(i=1..n)по ним раскладывается. Следовательно, мы можем разложить образ А(х) любого вектора только по А(е_j1)…А(е_jr). Таким образом, эти векторы образуют базис в ImA, и их число равно рангу А.

Предложение 5. Сумма ранга отображения и размерности его ядра равна размерности отображаемого пространства.

Доказательство. Согласно формуле (5) ядро отображения определяется системой линейных уравнений A c n неизвестными. Ранг матрицы системы равен рангу отображения r. Фундаментальная система решений этой системы состоит из d=n-r решений, которые являются координатными столбцами векторов, составляющих базис в ядре.

Изменение матрицы линейного отображения при замене базисов

Рассмотрим линейное отображение А:Y->Y. Если в пространствах выбраны базисы e и f, то А определяется матрицей А. Пусть другая пара базисов eи f связана с е и f матрицами перехода S и P, и в базисах eи f отображение А имеет матрицу А’. Наша задача – найти связь между матрицами A и А’.

Рассмотрим произвольный вектор х пространства Y и его образ y=A(x). Обозначим координатные столбцы x в базисах e и e соответственно через а координатные столбцы y в базисах f и f через h и h.Согласно формуле перехода к новому базису Подставив эти выражения в формулу (5) мы получаем Ph’=AS. Поскольку матрица перехода имеет обратную h’=AS. Но по формуле (5) h’=AТак как матрица линейного отображения для данной пары базисов единственна, мы получаем

A’=AS

Канонический вид матрицы линейного отображения

Для любого линейного отображения А:Y->Y’ ранга r можно так выбрать базисы в Y Y’ что оно будет иметь матрицу

A=

Где Er- единичная матрица порядка r, остальные элементы если есть равны 0.

Доказательство. Поместим векторы .. базиса пространства Y в Ker A(его размерность как раз равна n-r) а векторы можем выбрать произвольно. В силу такого выбора при любом базисе Y’ последние n-r столбцов матрицы А будут нулевыми. Так как RgA=r первые столбцов должны быть линейно независимы. Поэтому линейно независимыми будут векторы A()..A(). Примем их за первые r базисных векторов в пространстве Y’, а отсальные векторы ..этого базиса выберем произвольно. При таком выборе первые r столбцов А будут первыми r столбцами единичной матрицы порядка m. Это и есть искомый вид.







Система Orphus

Комментарии