Постоянным элетромагнитным полем назовем поле, не зависящее от времени.

$\vec{H}=rot \vec{A}$ $\vec{E}= - grad \varphi$

Если напряженность поля во всех точках пространчтва одинакова, то поле называют однородным. Скалярный потенциал однородного электрического поля может быть выражен через напряженность поля согласно равенству

$\varphi=-\vec{E}\vec{r}$

Векторный потенциал однородного магнитного поля выражается через напряженность такого поля $\vec{H}$ в виде

$\vec{A}=\frac{1}{2}[\vec{H}\vec{r}].$

В однородном электрическом.

Рассмотри движение заряда $e$ в однородном постоянном электрическом поле $\vec{E}$ . Направление поля примем за ось $x$ . Движение будет, очевидно, проходить в одной плоскости, которую выберем за плоскость $xy$ . Тогда уравнения движения

$\frac{d\vec{p}}{dt}=e\vec{E}+\frac{e}{c}[\vec{v},\vec{H}].$

примут вид

$\dot{p}_x=eE,~~\dot{p}_y=0$

откуда

$p_x=eEx~,~~p_y=p_0$

Начало отсчета времени мы выбрали в тот момент, когда $p_x=0;$ , $p_0$ есть импульс частицы в этот момент.

Кинетическая энергия $\varepsilon_{kin}=c\sqrt{m^2c^2+p^2}=\sqrt{\varepsilon_0^2+(ceEt)^2}$

Для скорости $v_x=\dot{x}$ имеем

$\frac{dx}{dt}=\frac{p_x c^2}{\varepsilon_{kin}^2}=\frac{c^2eEt}{\sqrt{\varepsilon_0^2+(ceEt)^2}}.$

Интегрируя, находим

$x=\frac{1}{cE}\sqrt{\varepsilon_0^2+(ceEt)^2}$

Для определения $y$ имеем

$\frac{dy}{dt}=\frac{p_y c^2}{\varepsilon_{kin}}=\frac{p_0 c^2}{\sqrt{\varepsilon_0^2+(ceEt)^2}}$

откуда

$y=\frac{p_0 c}{eE}Arsh \frac{ceEt}{\varepsilon_0}$

&nbsp Находим уравнение траектории избавляясь от $t$

$x=\frac{\varepsilon_0}{eE}ch \frac{eEy}{p_0c}.$

Таким образом, заряд движется в однородном электрическом поле по цепной линии.

В однородном магнитном.

Рассмотрим теперь движение заряда $e$ в однородном магнитном поле $\vec{H}$ . Направление поля выбереем за ось $z$ . Уравнения движения

$\dot{\vec{p}}=\frac{e}{c}[\vec{v}\vec{H}]$

мы перепишем в другом виде, подставив вместо импульса

$\vec{p}=\frac{\varepsilon\vec{v}}{c^2},$

где $\varepsilon$ - энергия частицы, которая в магнитном поле постоянная. Уравнение движения приобретают тогда вид

$\frac{\varepsilon}{c^2}\frac{d\vec{v}}{dt}=\frac{e}{c}[\vec{v}\vec{H}],$

или, в компонентах,

$\dot{v}_x=\omega v_y~,~~~\dot{v}_y=-\omega v_x~,~~~\dot{v}_z=0, ~~~~~~(21.2)$

где мы ввели обозначение

$\omega=\frac{ecH}{\varepsilon}$

Умножим второе из уравнений (21.2) на $i$ и сложим с первым:

$\frac{d}{dt}(v_x+iv_y)=-i\omega(v_x+iv_y)$

откуда

$v_x+iv_y=a e^{-i\omega t}$

где $a$ - комплексная постоянная. Её можно написать в виде $a=v_{0t}e^{-i\alpha}$ , где $v_{0t}, \alpha$ вещественны. Тогда

$v_x+iv_y=v_{0t}e^{-i(\omega t+\alpha)},$

и, отделяя действительную и мнимую части, находим

$v_x=v_{0t}\cos (\omega t+\alpha)~,~~~v_y=-v_{0t}\sin (\omega t+ \alpha).$ $r=\frac{v_{0t}}{\omega}=\frac{cp_t}{eH}$

Видно, что заряд движется в однородном магнитном поле во винтовой линии с осью вдоль магнитного поля.

Движение заряда в постоянных однородных электрическом и магнитном полях.

Ограничимся нерелятивистским случаем, когда $v << c$ , и поэтому его импульс $\vec{p}=m\vec{v};$ как мы увидим ниже, для этого необходимо, чтобы электрическое поле было мало по сравнению с магнитным.