Вариационные задачи для функционалов, зависящих от нескольких функций

Пусть обозначает множество всех вектор-функций y(x) с n непрерывно дифференцируемыми компонентами на [a,b]. Аналогично введем расстояние.

Все аналогично одномерному случаю.

Теорема. Если дважды непрерывно дифференцируемая вектор-функция дает слабый локальный экстремум функционала (1), то необходимо на [a,b] удовлетворяет системе уравнений Эйлера

.

Фиксируем например n − 1 функций и производных, и получаем простую вариационную задачу по одной функции, для которой ну просто необходимо выполнение уравнения Эйлера. Теорема доказана.

Комментарии